円の接線を求める

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求める

原点中心で半径$r$の円と、その円周上の点P$(x_\mathrm{P}, y_\mathrm{P})$が与えられたとき、 点Pをを通る円の接線を求めてみます。

ここで、円の中心から点Pへ向かうベクトル$\overrightarrow{p}=(x_\mathrm{P},y_\mathrm{P})$と、 点Pから接線の任意の点$(x,y)$へ向かうベクトル$\overrightarrow{v}=(x-x_\mathrm{P},y-y_\mathrm{P})$を考えます。 円の接線は半径と直交することを利用すると、

\begin{eqnarray*} \overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{v} &=& 0 \\ x_\mathrm{P}(x-x_\mathrm{P})+y_\mathrm{P}(y-y_\mathrm{P}) &=& 0 \\ x_\mathrm{P}x+y_\mathrm{P}y-(x_\mathrm{P}^2+y_\mathrm{P}^2) &=& 0 \end{eqnarray*}

点Pが円周上の点であることに注意すれば、

\[ x_\mathrm{P}x+y_\mathrm{P}y-r^2 = 0 \]

となり教科書でよくみる接線の方程式が得られます。

実際にやってみよう

実際にやってみました。 SVGにJavascriptを埋め込んで簡単なアニメーションを作ってみました。 SVGファイルをダウンロードする

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